Если есть - просьба помочь разрешить мне следующую проблему.


В общем, дело такое.

Есть функция
у = 10х*(1-х)^9

х в пределах от 0 до 1.

Надо найти, при каком значении х - у имеет максимальное значение.

То, что это 0,1 ясно без всяких формул - но нужно математическое обоснование.

Найдите точку, где производная равна 0.

1. Вычисляем dy/dx:
dy/dx = 10*[(1-x)^9 - 9x(1-x)^8] =10*(1-x)^8*(1-10x)
2. Замечаем, что dy/dx = 0 при x=1 и x=0.1. при x=1 y=0, при x=0.1 y>0.
Значит это максимум.

Цитата (F.B.)
1. Вычисляем dy/dx:
dy/dx = 10*[(1-x)^9 - 9x(1-x)^8] =10*(1-x)^8*(1-10x)
2. Замечаем, что dy/dx = 0 при x=1 и x=0.1. при x=1 y=0, при x=0.1 y>0.
Значит это максимум.

Я бы ещё добавили, что при x0.1 она отрицательная (функция уже убывает). Т. е. при x=0.1 имеет место максимум на промежутке [0, 1] (если просто находить точки, где производная нулевая, без анализа её знака до и после, то это ещё не показатель того, что в точке минимум или максимум).

Цитата (Неунывающий питерский бродяга)
если просто находить точки, где производная нулевая, без анализа её знака до и после, то это ещё не показатель того, что в точке минимум или максимум).

Ну естественно ж надо еще найти значения на концах интервала, это само собой разумеется.

Вообще-то стандартная задачка из школьного курса, так можно и до обсуждения уравнений типа 2х+3=5 дойти :)



Редактировано 1 раз(а). Последний раз 20.02.10 10:51 пользователем mgn.

Цитата (mgn)
Вообще-то стандартная задачка из школьного курса, так можно и до обсуждения уравнений типа 2х+3=5 дойти :)

Не знаю, не знаю - нам в школьном курсе никаких производных не давали.
Да и дело не в этом. Мне не решение нужно было - а математическое обоснование. Решение там без всяких формул на пальцах находится.

Цитата (F.B.)
1. Вычисляем dy/dx:
dy/dx = 10*[(1-x)^9 - 9x(1-x)^8] =10*(1-x)^8*(1-10x)
2. Замечаем, что dy/dx = 0 при x=1 и x=0.1. при x=1 y=0, при x=0.1 y>0.
Значит это максимум.

Спасибо!
А можно эту формулу dy/dx = 10*[(1-x)^9 - 9x(1-x)^8] =10*(1-x)^8*(1-10x) написать, как она в общем виде выглядит.

Спасибо всем! Больше уже ничего не надо.
Проблема отпала сама собой, чтоб брейнгеймс был здоров!

И чтобы не уходить с пустыми руками - собственно, задача из-за которой весь сыр-бор:
""В преддверии юбилея форума Тр.ру администратор форума разослал десяти случайно выбранным участникам следующее сообщение: «Администрация форума извещает Вас и 9 других участников о том, что каждый из вас получит денежный приз (одинаковый для всех), но при условии, что в течение недели один из вас (и только один!) пришлет ответное сообщение». После получения сообщения номинанты друг с другом не общаются. Как им следует поступить, чтобы максимизировать свои шансы получить призы?"

Цитата (Нихто)
Не знаю, не знаю - нам в школьном курсе никаких производных не давали.

У нас вроде обычная школа была, и было это в десятом классе. Да и в институтах общали теперь даже гуманитариям матанализ читать.

З.Ы. Вот сама задача уже интереснее :))



Редактировано 1 раз(а). Последний раз 20.02.10 12:36 пользователем mgn.

Цитата (mgn)
У нас вроде обычная школа была, и было это в десятом классе. Да и в институтах общали теперь даже гуманитариям матанализ читать.

Я в техникуме учился - у нас, слава аллаху, матанализа вообще не было. Ограничились простой алгеброй.

Не буду вдаваться в цель товарища, который вверг вас в это обсуждение. НО! Х = 0.1 или прочие значения в окрестностях исследуемой точки ещё ни о чём не говорит, ибо, может случиться, что пр X = 0.01 функция поведёт себя по-другому. А поэтому необходимо найти вторую производную по Х и посмотреть её знак в точке экстремума. Положительный знак - максимум, отрицательный - минимум. Вот это будет совершенно точно. А все ваши предложения по поводу Х = 0,1 имеют предположительный облегчённый вариант. Вариант для лентяев, которым лень взять вторую производную. И ещё. Сама задача поставлена не корректно. Во-первых, нужно было сказать, что исследуемая функция непрерывна в указанном интервале, а во-вторых, сам интервал указан некорректно. Не ясно, входят ли или не входят в него сами точки 0 и 1. Или входит только одна из этих точек. Так что товарищ, задавший задачу, сам не знает, что он хочет с математической точки зрения. Вот Вам ответ от грамотного инженера, хотя вовсе не математика. Адью!

Цитата (Александр Митин)
И ещё. Сама задача поставлена не корректно. Во-первых, нужно было сказать, что исследуемая функция непрерывна в указанном интервале, а во-вторых, сам интервал указан некорректно. Не ясно, входят ли или не входят в него сами точки 0 и 1. Или входит только одна из этих точек.

А у Вас, господин грамотный инженер, есть какие-то сомнения в непрерывности данной функции в окрестностях точек 0 и 1 ? И вообще где-либо ?



Редактировано 2 раз(а). Последний раз 21.02.10 01:40 пользователем Краевед.

Цитата (Александр Митин)
Так что товарищ, задавший задачу, сам не знает, что он хочет с математической точки зрения.

Товарищу уже давно ничего не нужно. И он по-моему об этом уже говорил.

Да и вообще товарищ ни в жизни бы добровольно не стал бы связываться с какими бы то ни было функциями при ответе на вопрос "С какой вероятностью успеха нам следует провести 10 экспериментов, если в результате проведения этих 10 экспериментов мы желаем получить только 1 успех". Любому здравомыслящему ежу ясно без всяких формул, что эксперименты нам следует проводить с вероятностью успеха 1/10.

А товарища уже никто и не спрашивает, нужно это ещё ему или не нужно. Просто идёт обсуждение метода исследования функции с одной переменной на заданном числовом промежутке. Товарищ этот - как писатель, написавший интересный роман. Он сам по себе, а его книжка сама по себе. Они оба живут каждый своей жизнью. Создателя уже на свете нет, а произведение живёт в веках и здравствует. Две судьбы, две жизни, два смысла существования в одном мироздании.

Цитата
А поэтому необходимо найти вторую производную по Х и посмотреть её знак в точке экстремума. Положительный знак - максимум, отрицательный - минимум. Вот это будет совершенно точно.

Правильно, только знак второй производной с точностью до наоборот - плюс - минимум, минус - максимум.

Цитата (Правильно, только знак второй производной с точностью до наоборот - плюс - минимум, минус - максимум.)
Виноват, каюсь, просто в запарке ошибся.

Цитата (Александр Митин)
Во-первых, нужно было сказать, что исследуемая функция непрерывна в указанном интервале

Можно и не говорить, это по функции видно.

И вообще, зачем усложнять нахождением 2 производной, если достаточно найти значения в экстремумах и на концах интервала?

Цитата (Можно и не говорить, это по функции видно. И вообще, зачем усложнять нахождением 2 производной, если достаточно найти значения в экстремумах и на концах интервала?)
Во-первых,не всегда очевиден разрыв функции.Разрыв первого рода (бесконечный скачок) виден почти всегда. В этой точке нет значения функции. Разрыв второго рода (конечный скачок, ступенька) почти никогда не видна. В этой точке существуют по крайней мере два значения функции. Во-вторых, по первой производной, приравняв её к нулю, можно судить лишь о наличии экстремума функции, и не ясно минимум ли это или максимум, ибо касательная в точке экстремума параллельна оси абсцисс и в точке максимума и в точке минимума.

Цитата (Александр Митин)
Во-первых,не всегда очевиден разрыв функции.Разрыв первого рода (бесконечный скачок) виден почти всегда. В этой точке нет значения функции. Разрыв второго рода (конечный скачок, ступенька) почти никогда не видна. В этой точке существуют по крайней мере два значения функции.

Это полиномиальная функция, какие разрывы, какие ступеньки? Зачем лишний раз теоретизировать?

Цитата
Во-вторых, по первой производной, приравняв её к нулю, можно судить лишь о наличии экстремума функции, и не ясно минимум ли это или максимум, ибо касательная в точке экстремума параллельна оси абсцисс и в точке максимума и в точке минимума.

Поэтому и проще посчитать значения функции в экстремуме и на концах интервала в экселе или аналогичной программе за минуту, и взять наибольшее значение, чем еще и находить вторую производную, и опять же искать ее значение в точках экстремума.

Мы же не в школе, чтобы делать именно так, как в учебнике написано. Нужно выбирать простые пути.