Я знаю что комплексные числа можно записать в 3х формах:
Recatngular: 3+j4; (3,4)
Polar/Trig: 1 angle 45 deg.
Exponental: e^j1

В чём сущнось последней формы?

Почему?
e^j1 = 1 angle 1rad.
e^j2 = 1 angle 2rad.
e^j3 = 1 angle 3rad.
e^j3.14 = 1 angle 180 deg

A синусы и косинус в степени для чего?
А в таблице Брадиса есть логарифмические Sin & Cos.

-----------------------------------------------------------------------

В то же время и Конденсатор, и Индуктор живут по принципу степени. А в LC ciucuits получается синусоида.

Почему? d/dx ln x = 1/x
причем тут Sin & Cos?

Да нет, я знаю, что в электротехнике так делают... но душа не выносит! ;-(

> Я знаю что комплексные числа можно записать в 3х формах:
> Recatngular: 3+j4; (3,4)
> Polar/Trig: 1 angle 45 deg.
> Exponental: e^j1
>
> В чём сущнось последней формы?

В том, что e^{ix} = cos x + i sin x.

> Почему?
> e^j1 = 1 angle 1rad.

Потому что e^{ix} геометрически означает вектор единичной длины, горизонтальная (вешественная) компонента которого равна cos x, вертикальная (мнимая) - sin x. Эрго, это есть вектор, направленный под углом x к оси абсцисс.

> e^j2 = 1 angle 2rad.

См. выше

> e^j3 = 1 angle 3rad.

См. выше :-)

> e^j3.14 = 1 angle 180 deg

См. выше :-))

> A синусы и косинус в степени для чего?

В каком смысле "для чего"? Все это эквивалентные формы.

> Почему? d/dx ln x = 1/x

Потому что d(e^x)/dx = e^x; e^x = y; x = ln y, dy/d(ln y) = y, d(ln y)/dy = 1/y. Чуть грубо, но результат правильный.

> причем тут Sin & Cos?

Экспонента связана с синусом и косинусом, как указано выше.

Спасибо во первых за объяснение. В Америке такое простое доказательство не учат ли школах ни в институтах. А там в 11ом классе проходили.

И почему, вектором единичной длины не считается (1,1) ?
чем лучше cos x + i sin x; и что это даёт?
-----------------------------------------------------------------------------------------------

Ваш стих "....Я наверно любить разучился...." мне очень понравился. Разрешаете ли вы мне исполнять песню на этот стих? (Я вам её присылал как-то)

Gregory Kats (tramrunner) писал(а):

> Спасибо во первых за объяснение. В Америке такое простое
> доказательство не учат ли школах ни в институтах. А там в 11ом
> классе проходили.

Увы. Если сами американцы, в большинстве своем, признают, что американское школьное образование никуда не годится... то что можно добавить? :-)

> И почему, вектором единичной длины не считается (1,1) ?

Потому что длина вектора определяется как - на вульгарно-бытовом языке - расстояние от его начала до конца. А у вектора (1,1), согласно теореме Пифагора, это расстояние равняется корню из двух.

> чем лучше cos x + i sin x; и что это даёт?

Смотря по обстоятельствам, в которых формула применяется.
Для перемножения, дифференцирования удобнее экспоненциальная запись. Если надо явно разбить на вещественную и мнимую часть - то тригонометрическая.

> -----------------------------------------------------------------------------------------------
>
> Ваш стих "....Я наверно любить разучился...." мне очень
> понравился.

Если б еще мне нравился :-)

> Разрешаете ли вы мне исполнять песню на этот стих?

А чего ж, как говорится, нет?

Gregory Kats (tramrunner) писал:

> Спасибо во первых за объяснение. В Америке такое простое
> доказательство не учат ли школах ни в институтах. А там в 11ом
> классе проходили.

Доказательство того что d/dx ln x = 1/x мы проходили в 13 классе (теперь вроде учат в 12-ом), а потом вторично в университете. Видимо ты не брал более-не-менее серьёзный курс калкулуса в институте, в смысле теории, а не только применения. Тригонометрическое разложение е^(ix) тоже учили в 13 классе, а теперь учат в 12-ом (а может и раньше). Но это всё в Канаде, может США и от нас отстали. :)

Пусть z=x+iy или (x,y) - комплексное число.
Тогда на комплексной плоскости это число отобразится как точка с координатами (x,y). Для каждой точки можно определить расстояние до начала координат |z|=p=sqrt(x^2+y^2) и угол phi - угол между действительной осью и прямой, соединяющие точки (0,0) и (x,y). Параметры p, phi также однозначно определяют ее положение. Поэтому можно записать z=z(x,y)=z(p,phi).
Связь очевидна: x=p*cos(phi), y=p*sin(phi) (полярные координаты, соотношения находятся через треугольник в вершинами (0,0); (x,y), (0,y), катеты - оси, гипотенуза - (0,0)). Отсюда:

z=x+iy=p*cos(phi)+i*p*sin(phi)=p(cos(phi)+i*sin(phi);
Формулы перехода:
p= sqrt(x^2+y^2); phi= arctan(y/x);
и обратно: x=p*cos(phi), y=p*sin(phi);

C экспонентой сложнее.
В курсе матана доказано, что в ряд Тейлора можно разложить любую функцию(в некоторой области). В частности:

exp (x) = sum[x^k/k!]
sin (x) = sum[ ((-1)^k * x^(2k+1)) / (2k+1)! ]
cos (x) = sum[ ((-1)^k * x^(2k)) / (2k)! ]

Аксиоматически полагают, что это соотношения верны и для комплексного переменного:

exp (z) =sum[z^k/k!]
sin (z) = sum[ ((-1)^k * z^(2k+1)) / (2k+1)! ]
cos (z) = sum[ ((-1)^k * z^(2k)) / (2k)! ]

Далее: z=x+iy; i*i=-1;
=>exp (z) = exp (x+iy)=exp (x) *exp (iy) =
exp(x) * ( sum[(iy)^k/k!] ) =
exp(x) * ( sum[(iy)^(2k)/(2k)!] + sum[(iy)^(2k+1)/(2k+1)!] ) =
exp(x) * ( sum[(-1)^k * (y)^(2k)/(2k)!] + sum[i*(-1)*k*(y)^(2k+1)/(2k+1)!] )=
exp(x) * ( cos (y) + i*sin(y)).

отсюда:

exp(x+iy) = exp(x) * ( cos (y) + i*sin(y));
z=x+iy = |z|*(cos(phi)+i*sin(phi))= exp (ln|z|+i*arctan(y/x)).

Вектор единичной длины - это такой вектор, у которого ДЛИНА равна единице. А |(1,1)|=sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2) != 1 (!= - не равно).

Уф... Все вроде... :-)) Не зря все-таки матан в МГТУ учил... :-))))

Сообщение изменено (11-03-04 23:01)

Trotil писал(а):

> Аксиоматически полагают, что это соотношения верны и для
> комплексного переменного:
>
> exp (z) =sum[z^k/k!]
> sin (z) = sum[ ((-1)^k * z^(2k+1)) / (2k+1)! ]
> cos (z) = sum[ ((-1)^k * z^(2k)) / (2k)! ]

Нет, не аксиоматически. В курсе ТФКП сходимость рядов Тейлора комплекной переменной также доказывается.

Не совсем так. Именно аксиоматически:
exp(z) = sum [ z^k/k! ]; - ЭТО НЕ ВЫВОДИЛОСЬ с помощью разложения ряда Тейлора ФКП, а положили, что это разложение истинно и для ФКП и оно и определяет эту функцию. А вот что ряд sum [ z^k/k! ] сходится для любого |z|

Если нет сходимости, то такое определение бессмысленно.

Кстати, в таких случаях выражаются не "аксиоматически", а "по определению".

0

Михаил Вайнштейн писал(а):

> Тригонометрическое разложение е^(ix) тоже учили в 13 классе,
> а теперь учат в 12-ом (а может и раньше). Но это всё в Канаде,
> может США и от нас отстали. :)

Серьезной статистики не знаю, но боюсь, что в вопросе школьного образования США любой стране "фору даст" :-((

P.S. Пытаюсь вспомнить, в каком же классе я это учил... Во всяком случае, никак не позже 10-го :-)